Deret Aritmetika dan Contoh Soalnya

Pada artikel sebelumnya kita telah membahas mengenai barisan aritmetika. Nah, selanjutnya kita akan membahas mengenai deret aritmatika, mulai dari pengertian, penurunan rumus deret aritmatika, contoh soal deret aritmatika serta penyelesaianya.

Penjumlahan berurut dari suku-suku suatu barisan disebut deret. Maka, deret aritmetika adalah penjumlahan dari suku-suku pada barisan aritmatika.

Contoh:

• 1+3+5+7+9+....
• 2+5+8+11+14+...
• 8+4+0-4-8-....

Deret Aritmetika

Jika U1, U2, U3, . . ., Un merupakan barisan aritmatika maka U1+ U2+ U3+ . . . + Un disebut deret aritmetika, dengan Un adalah suku ke-n dari deret tersebut. Jika Sn dinotasikan sebagai jumlah n suku pertama deret aritmatika U1+ U2+ U3+ . . . + Un maka:

Sn = U1+ U2+ U3+ . . . + Un

Penurunan rumus deret aritmatika (Sn), dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut.

Jadi, secara umum jumlah n suku pertama dari barisan aritmatika atau dengan kata lain rumus deret aritmatika dapat dinyatakan dengan rumus berikut.

 

Dengan:

Sn = jumlah n suku pertama

Un = suku ke-n

a = suku pertama

b = beda

n = banyak suku

Untuk setiap n berlaku: Un = Sn - Sn-1

Berikut ini, contoh soal deret aritmatika beserta penyelesaiannya.

Contoh Soal Deret Aritmetika

Berikut adalah beberapa contoh soal deret aritmetika dilengkapi dengan pembahasannya

Soal 1
Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika 11 + 16 + 21 + ...

Penyelesaiaan:

Jadi, jumlah 10 suku pertamanya adalah 335

Soal 2

Hitunglah jumlah 20 suku pertama pada deret 9 + 12 + 15 + 18 + . . . 

Penyelesaian:

a = 9 

b = 12 – 9 = 3 dan 

n = 20

$S_{n} = \frac{n}{2} (2a + (n – 1) b)$ 

$S_{20} = \frac{20}{2} (2\cdot9 + (20 – 1)3)$ 

     $= 10 (18 + 19\cdot3)$

     $= 10 (18 + 57)$

     $= 10 (75)$ 

     $= 750$

Jadi, jumlah 20 suku pertamanya adalah 750

Soal 3

Hitunglah jumlah dari deret 5 + 7 + 9 + …. + 61 

Penyelesaian :

a = 5, 

b = 7 – 5 = 2 dan 

$U_{n} = 61$

Untuk menyelesaikan deret aritmetika yang diketahui suku awal dan suku akhirnya dapat dilakukan dengan mengawalinya dengan mencari banyak suku barisan atau nilai n

$U_{n} = 61$

a + (n – 1)b = 61

5 + (n – 1)2 = 61

5 + 2n – 2   = 61

3 + 2n         = 61

             2n  = 61 – 3

             2n  = 58

                n  = 58/2

               n  = 29  (banyak suku = 29)

$S_{n}  = \frac{n}{2} (a + U_{n}) $

$S_{29} = \frac{29}{2} (5 +61)$

      $= \frac{29}{2} (66)$

      $= 29 (33)$

      $ =  957$

Jadi jumlah deret itu adalah 957

Soal 4

Hitunglah jumlah semua bilangan asli antara 5 dan 100 yang habis dibagi 7

Penyelesaian:

Bilangan asli antara 5 dan 100 yang habis dibagi 7 adalah 

7 + 14 + 21 + . . . . .  + 98

a = 7, 

b = 14 – 7 = 7 dan 

$U_{n} = 98$

Langkah pertama, kita harus temukan terlebih dahulu banyak suku barisan

$U_{n} = 98$

a + (n – 1)b = 98

7 + (n – 1)7 = 98

7 + 7n – 7   = 98

               7n = 98

                 n = 98/7 = 14 (banyak bilangan yang habis dibagi 7 antara 5 dan 100 ada 14  buah)

Kemudian, kita hitung jumlahnya

$S_{n}   = \frac{n}{2} (a + U_n)$ 

$S_{14}  = \frac{14}{2} (7 +98)$

       $= 7(105)$

       $= 735$

Jadi, jumlah bilangan antara 5 dan 100 yang habis dibagi 7 adalah 735

Soal 5

Ida menyimpan uangnya pada sebuah Bank setiap bulan. Pada bulan pertama Ida menabung sebesar Rp100.000, kemudian pada bulan kedua sebesar Rp110.000, bulan ketiga Rp120.000 dan seterusnya. Besar uang yang ditabungkan oleh Ida selalu bertambah Rp10.000 tiap bulannya. Dengan mengabaikan bunga yang diperoleh Ida, berapakah total uang tabungan Ida selama 2,5 tahun

menabung ?

Penyelesaian:

Jika kita buatkan deret tabungan Ida maka diperoleh

100.000 + 110.000 + 120.000 + 130.000 + ....

Sehingga

a = 100.000

b = 10.000

n = 2,5 tahun = 30 bulan

$U_{n} = \frac{n}{2}(2a + (n - 1)b)$

$U_{30} = \frac{30}{2}(2(100.000) + (30 - 1)(10.000))$

$U_{30} = 15(200.000 + 290.000)$

$U_{30} = 15(490.000)$

$U_{30} = 7.350.000$

Jadi, uang tabungan Ida tanpa bunga selama 2,5 tahun adalah Rp7.350.000

Sekian, semoga bermanfaat :)

Share :