MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT DENGAN MEMFAKTORKAN

Sebelum membahas mengenai menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan ada baiknya kita terlebih dahulu membahas mngenai engertian dan bentuk umum persamaan kuadrat itu sendiri.

A. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat adalah persamaan yang pangkat tertinggi variabelnya adalah dua. Bentuk umum persamaan kuadrat:

ax²+ bx + c = 0

dengan a,b,c bilangan riil, dan a≠0. a disebut koefisien x², b koefisien x, c konstanta
Contoh:
2x²+ 3x + 5=0; mempunyai nilai a = 2, b = 3, c = 5
x²+ 2kx+ k+3=0; mempunyai nilai a = 1, b = 2k, c = k+3
Bentuk lain persamaan kuadrat

§ (jika b = 0) disebut Persamaan Kuadrat Sempurna : ax² + c = 0

§ (jika c = 0) disebut Persamaan Kuadrat Tak Lengkap : ax² + bx = 0

Persamaan kuadrat juga sering disajikan tidak dalam bentuk umum untuk itu kita perlu mengubahnya menggunakan operasi aljabar tertentu.
Contoh:
3x² + x = 3x -5
3x² + x – (3x – 5) = 0
3x² + x - 3x + 5 = 0
3x² – 2x + 5 = 0

B. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Dengan Memfaktorkan
Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkanDalam menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan, kita gunakan sifat faktor nol, yaitu:
Untuk p dan q bilangan riil berlaku p × q = 0, maka p = 0 atau q = 0.
Misalkan, (x - 2)(2x + 4) = 0

(x - 2) = 0 atau (2x + 4) = 0

x = 2 atau x = -2

Jadi, penyelesaian (x - 2)(2x + 4) = 0 adalah x = 2 atau x = –2

a. Memfaktorkan bentuk x²+ bx + c
Misalnya m, n adalah bilangan bulat dan bentuk x²+ bx + c dapat difaktorkan menjadi (x + m)(x + n). Jika bentuk terakhir kita kalikan, maka diperoleh
(x + m)(x + n) = x² + nx + mx + mn
= x² + (n + m)x + mn
Karena bentuk x²+bx+c ekuivalen dengan x² + (n + m)x + mn, maka dapat disimpulkan bahwa m + n = b, dan mn = c.
Contoh: x²- 3x - 18 = 0
Kita cari bilangan bulat m dan n sehingga mn = -18 dan m + n = -3.
Dengan cara mencoba didapat nilai m = -6 dan = 3. Sehingga, x²- 3x - 18 = 0 dapat difaktorkan menjadi
x²- 3x - 18 = 0
(x - 6)(x + 3) = 0
x - 6 = 0 atau x +3= 0

menggunakan sifat faktor nol

x = 6 atau x = -3

Jadi, HP = {-3,6}

b. Memfaktorkan bentuk ax²+ bx + c dengan a≠1
Misalnya m, n adalah bilangan bulat dan bentuk ax²+ bx + c dapat difaktorkan menjadi

(ax + m)(ax + n). Dengan mengalikan bentuk terakhir diperoleh:

(x + m)(x + n) =

(a²x² + anx + amx +mn)
=

(a²x² + (m + n)ax + mn)
= ax² + (m + n)x +

Karena bentuk ax²+bx+c ekuivalen dengan ax² + (m + n)x +

, maka dapat disimpulkan bahwa m + n = b, dan

= c atau mn = ac.
Contoh: 2x²- 3x – 5 = 0
Kita cari bilangan bulat m dan n sehingga m + n = b = -3 dan mn = ac = -10. Dengan cara mencoba didapat nilai m = 2 dan = -5. Sehingga, 2x²- 3x – 5 = 0 dapat difaktorkan menjadi
2x²- 3x – 5 = 0

(2x + 2)(2x - 5) = 0

.2(x + 2)(2x - 5) = 0
(x + 2)(2x - 5) = 0
x + 2 = 0 atau 2x – 5 = 0
x = -2 atau x =

Jadi, HP = {-2,

}
Untuk persamaan kuadrat yang memiliki nilai b = 0 atau c=0, cara menyelesaikan dengan pemfaktoran dapat dilakukan seperti contoh berikut:
a. x² + 4x = 0
Jawab: x² + 4x = 0